初级组第一天

1.阿尼亚和万尼亚的房子位于一条直路上。两家之间的距离被一家商店和一所学校分成三等分。如果阿尼亚和万尼亚同时从家出发相向而行，他们会在商店附近相遇。如果阿尼亚骑滑板车，她的速度会增加米分钟，此时他们会在学校附近相遇。求万尼亚的步行速度。

2.有个孩子围成一圈。对于每个女孩，顺时针方向紧随她的五个人中，男孩的数量多于女孩。求这个圆圈中最多可以站多少名女孩。

3.设为正整数。叶戈尔有张写有数字“”的卡片和张写有数字“”的卡片。他希望将每张卡片涂成红色或蓝色，使得同色卡片的任何子集中数字之和均不为。求叶戈尔无法完成涂色的最大值。

4.在凸四边形中，对角线与相等且交于点。和的垂直平分线在三角形内部的点相交，和的垂直平分线在三角形内部的点相交。证明。

第二天

5.假设黑板上写了个连续正整数（），然后擦除了其中个数，使得剩余任意两数互质。求的最大可能值。

6.在凸四边形内部取一点。是否可能满足

且

7.已知长度为、、的线段可以构成三角形。是否可能存在长度为和 的线段构成直角三角形？

8.给定一个正整数  。在黑板上用红色画出一个三角形网格：这个网格是边长为  的等边三角形被分割成边长为 1 的小等边三角形（见图）。允许进行以下操作：将构成“之字形”的三条长度为 1 的红色线段（见图）同时重新涂成蓝色（之字形可以旋转和翻转，即可以以任何方式放置）。求可以执行的最大操作次数。

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高级组第一天

1.给定正整数和，考虑方程

当，时，求满足该方程的最小正整数。并证明：对于任意正整数和，存在无穷多个正整数满足该方程。（其中表示正整数和的最大公约数。）

2.设为三角形，和为线段上关于其中点对称的两点。记为过且与直线相切于的圆，为过且与直线相切于的圆。设与的另一个交点为（）。证明：。

3.黑板上画有一个圆，圆上标有个点，将其分成等份。佩佳和瓦夏进行如下游戏：佩佳选择一个不超过的正整数并告知瓦夏。若瓦夏能用种颜色给所有标记点染色（每种颜色恰好涂两点），且对于任意同色点对，两点间的某一弧上恰有个标记点，则瓦夏获胜。求所有使得佩佳能阻止瓦夏获胜的。

4.判断是否存在非常数实系数多项式、和（首项系数均为），使得多项式均至少有一个实根，而多项式   均无实根。

第二天

5.在一个行编号为至、列编号为至的棋盘上，尼基塔希望在某些格子中放置宝石，满足以下魔法条件：对任意和，第行第列的格子中有宝石，当且仅当由该行与该列构成的十字区域中宝石总数恰好为。判断尼基塔的愿望是否可实现。

6.已知长度为、、的线段可构成三角形。问是否存在长度为

的线段构成钝角三角形？

7.从圆外一点引两条切线，切点分别为和。在线段上取一点，记、分别为和的中点。三角形的外接圆与的另一个交点为（）。证明：直线通过三角形的重心。

8.对哪些整数，可以将表格的格子填入数字，满足以下条件：

每个数字恰好出现一次；在任意矩形中，总有一个数是另两个数的算术平均；数字位于表格正中间的格子。 本站仅提供存储服务，所有内容均由用户发布，如发现有害或侵权内容，请点击举报。